Это не верный ответ, а расширение расчета дифракционных картин из @ whuber's answer .
Во-первых, у нас есть дифракционный интеграл. Функция U p описывает комплексную амплитуду в плоскости наблюдения на расстоянии ( x p , y p ) от оптической оси и расстояние L z от источника (какой-либо вид дифракционного объекта, например, обскура, отверстия камеры и т. д.) U с - функция, описывающая комплексную амплитуду в плоскости источника; для очень маленького отверстия можно использовать функцию delta delta . Третья переменная в U s равна 0, потому что для удобства мы говорим, что дифракционный объект является источником системы координат. Переменные x s и y s в своих аргументах учитывают тот факт, что объект может иметь некоторый размер в плоскость x – y .
Это может не выглядеть таким ужасным интегралом, но k и r sp - это просто обозначение чего-то большего:
Интеграция функции с радикалом с квадратными членами в ней как в числителе e , так и в знаменателе - это действительно очень неприятный интеграл.
Можно упростить интеграл, удаляя квадратные корни, используя представление биномиальных рядов и обрезая члены более высокого порядка. интеграл Фраунгофера имеет место, когда нужно 2 условия; интеграл Френеля предназначен для случаев, когда нужно 3 условия. В доказательстве этого есть некоторая нюансировка, но она выходит за рамки этого.
Когда мы начинаем манипулировать этими вещами, чтобы получить дифракционные интегралы Френеля и Фраунгофера, мы получаем три величины.
Если Nfd * ( θ d ) 2 << 1, интеграл Френеля действителен. Если это так и <em>Nfs << 1, интеграл Фраунгофера верен. </p>
Два интеграла:
Френеля:
Фраунгофер:
, где
* * 1111
и ν x и ν y - это размеры источника в данном измерении, деленные на длину волны светового времени расстояние до источника. Обычно это будет написано ν s = d / ( λx s ).
Чтобы ответить на вопрос @ whuber о том, почему вам может понадобиться один или другой, несмотря на то, что говорится в Википедии, нужно немного подумать.
Комментарий «в фокальной плоскости объектива формирования изображения ...», вероятно, взят из учебника, и подразумевается, что источник дифракции (то есть точечное отверстие, щель, что угодно - эти уравнения являются агностическими в отношении геометрия источника) очень далеко. К сожалению, объектив может быть не только на любом расстоянии и ближе, чем позволяет интеграл Фраунгофера, но и дифракция также возникает внутри системы объективов для камеры.
Правильная модель для дифракции от апертуры камеры - апертура n ( n - количество диафрагм в объективе), освещаемая точечным источником в этом месте вещи на изображении, которая производит рисунок звездообразования.
Когда объекты действительно далеко (подойдет несколько метров), точечные источники ведут себя так, как если бы они были плоскими волнами, а деривация в Википедии - в порядке.
ДляНапример, апертура для объектива с двойным гауссом 50 мм составляет порядка 40 ~ 60 мм от плоскости изображения. Он изображается парой линз за физической остановкой на расстоянии, превышающем это (это местоположение выходного зрачка), но выходной зрачок находится не там, где U s ( x s , y s , 0) функция центрирована!
Для апертурного источника света с радиусом 500 нм и 1 мм мы можем проверить, действителен ли интеграл Фраунгофера. Он равен (0,001) 2 / (500 * 10 -9 * 50 * 10 -3 ) или 40, что составляет >> 1 и интеграл Фраунгофера недействителен. Для видимого света, пока упор диафрагмы составляет порядка миллиметров от детектора, Nfs никогда не будет где-либо около 1, не говоря уже о гораздо меньшем.
Эти уравнения могут несколько отличаться от уравнений в Википедии; Я хотел бы сослаться на OPT 261 «Интерференция и дифракция» в Институте оптики Университета Рочестера, преподававшего профессором Вамивакасом. Уравнения в оптике Хехта должны быть довольно похожи. Уравнения для комплексной амплитуды , чтобы получить Освещенность (интенсивность или яркость), вы бы взяли квадратичную величину результата.