Ваша интуиция права. Чтобы проверить это, мы можем углубиться в базовую геометрию средней школы.
Хотя объектив камеры на самом деле представляет собой сложный объектив , изготовленный из множества элементов, концептуально и математически для большинства практических целей, это сводится к идеалу, когда вы можете представить точечную проколотую точку точно на расстоянии от датчика, равном на фокусное расстояние. Свет может падать за пределы конуса, но нас это не волнует, так как он не будет записываться, поэтому угол этого конуса равен углу зрения .
Итак, геометрия средней школы, подходит. Вот идеализированная диаграмма, показывающая фокусное расстояние 35 мм и 70 мм (представьте вид сверху вниз):
Первое, на что нужно обратить внимание, это то, что для сравнения «сходных» вам нужно измерить расстояние от «точечного отверстия», а не от датчика. Но, поскольку вы обычно работаете на расстоянии метров, а не миллиметров, это обычно незначительно и не стоит беспокоиться.
На этой диаграмме я сохранил отверстие объектива в той же точке и переместил датчик для увеличения.
Серая линия справа обозначает расстояние до объекта 6 см. Конечно, 6 m может быть более типичным немарокосным расстоянием, и в этом масштабе разница между выравниванием датчика или камеры в целом и номинальным центром объектива не имеет значения; здесь это так, но это цена, которую мы платим за диаграмму, которая показывает детали и вписывается в экран.
Важно то, что поле зрения - это вопрос "похожих треугольников". Рассмотрим треугольник ∆CDE - что вы получите с 35-миллиметровым объективом. Треугольник ∆FHE имеет одинаковые углы - размер отличается, и он явно отражается, но мы видим, что углы одинаковы. Вот эти наборы треугольников, заштрихованных для ясности:
и те, которые соответствуют 70 мм:
Я показываю только половину кадра, потому что легче думать о прямоугольных треугольниках, но это также справедливо, если добавить нижнюю половину, чтобы сделать равнобедренные треугольники, показывающие весь угол зрения. (Со мной еще?)
Итак, вопрос в основном таков: когда мы перемещаем фокусное расстояние с DE на BE, что происходит с соответствующей линией в FH → GH? Мы можем видеть из конструкции, что когда мы удваиваем фокусное расстояние, серая линия поля зрения уменьшается вдвое - что подтверждает ваш интуитивный вывод.
Мы также можем подкрепить это математикой; мы могли бы выяснить углы, но я думаю, что наиболее интуитивный способ - рассуждать о подобных треугольниках - помните, правило состоит в том, что стороны этих треугольников пропорциональны друг другу.
Это значит CD/DE = FH/EH. Если мы удвоим DE, мы умножим одну часть уравнения на ½. Мы должны умножить другую сторону также на ту же величину, чтобы сохранить пропорцию, поэтому CD/2×DE = FH/2×EH - но мы не заинтересованы в изменении EH в этом случае (мы держим объект на том же расстоянии), поэтому мы может инвертировать его: CD/2×DE = ½FH/EH.
Теперь, оглядываясь на диаграмму, 2×DE совпадает с BE (потому что DE 35 мм, а BE 70 мм), поэтому CD/BE = ½FH/EH. Мы также знаем, что AB точно равен CD (потому что размер датчика одинаков), поэтому AB/BE = ½FH/EH.
И , глядя на синие треугольники, мы знаем, что AB/BE = GH/EH. Так что, поскольку ½FH/EH и GH/EH равны AB/BE, мы можем сказать, что GH/EH = ½FH/EH, что упрощается до GH=½FH - математически отвечая на вопрос выше .
И помните, что ½ - это потому, что мы удвоили фокусное расстояние - оно исходит от 35mm ÷ 70mm. Таким образом, формула обобщается до old ÷ new для любого изменения фокусного расстояния.
Иногда,люди приходят в замешательство, потому что угол ∠FEH (или ∠GEH) как значение в градусах не масштабируется линейно - похоже, что это происходит при длинных фокусных расстояниях, но расходится все для очень коротких. Но если вы проследите это до ширины или высоты рамки на определенном расстоянии, вы обнаружите, что , что масштабирование следует этой же простой математике. Это не так уж сложно; это просто природа касательных.
Конечно, все это в идеальном смысле. В реальном мире есть несколько предостережений:
- Во-первых, при очень близких расстояниях фокусировки (макро-расстояние) имеет значение разница между «расстоянием до датчика» и «расстоянием до фокусного расстояния объектива»;
- во-вторых, в реальном мире фокусировка в некоторой степени меняет фокусное расстояние большинства объективов, поэтому ничто не является идеальным; и
- в-третьих, по мере приближения к крайностям, таким как пример с 1-миллиметровым объективом, трудно получить прямолинейную проекцию, поэтому ... все предположения неверны. И даже для обычных объективов проекция не совсем идеальна; Там будут искажения, которые влияют на это немного.
Да, и предостережение: если вы пытаетесь использовать это для измерения, вам, вероятно, не следует этого делать, потому что объективы, предназначенные для фотографирования, не имеют точной маркировки и могут отличаться от номинальных на 10% или более, даже если никто не подумает что-нибудь из этого.
Но, не обращая внимания на эти вещи, важно: да, количество кадра, заполненного объектом определенного размера на определенном расстоянии, удваивается, когда вы удваиваете фокусное расстояние .
Или, другими словами, идеализированный зум математически неотличим от идеализированного кадрирования и увеличения.